Logarithme d'un nombre négatif
Le logarithme d'un nombre négatif est la fonction à valeurs multiples
Ici, le logarithme naturel est écrit comme log.
Explication
Tout nombre négatif est un nombre complexe. Avec les coordonnées polaires (r, θ), vous pouvez décrire les nombres négatifs, car ils se trouvent dans le plan complexe sur l'axe x réel, où θ = 0, ±π, ±2π, ... est.
La définition du logarithme peut être étendue aux arguments négatifs et complexes. Un logarithme est l'inverse d'une fonction exponentielle. Pour le nombre complexe w s'applique
ew = zavec comme inverse w = log z
On parle de logarithme parce qu'en z il y a une infinité de nombres w qui agissent comme des logarithmes. Ils diffèrent par un multiple entier de 2πi. C'est parce que e2nπ i = 1. Nous ecrivons z comme
avec la valeur absolue r et l'argument φ, alors chacun des nombres
est un logarithme de z. Le logarithme pour les nombres complexes z est une fonction multiple
La valeur du logarithme pour n = 0 est appelée valeur principale du logarithme. L'argument de z dans l'intervalle [0, 2π) est appelé valeur principale. L'intervalle (−π, π] est également choisi comme valeur principale.
Exemple 1
Les nombres négatifs sont un cas particulier des nombres complexes. Ainsi, z = −1 est un nombre complexe sur le cercle unitaire de rayon r = 1 et sur un demi-cercle tourné φp = π. Le logarithme de −1 a donc pour valeur principale
log (−1) = log (1) + πi = πi.